Thi thử trắc nghiệm ôn tập Đại số tuyến tính – Đề #4

Câu 1:

Tính hạng của ma trận:

$A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&1&2&{ - 1}&2\\2&3&5&3&5\\4&7&7&7&5\\3&3&6&{ - 2}&8\\6&8&{15}&{ - 4}&{ - 8}\end{array}} \right]$

Câu 2:

Tìm m để hạng của ma trận phụ hợp P_A bằng 4.

$A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&1&1&{ - 1}\\3&2&1&0\\5&6&{ - 1}&2\\6&3&0&m\end{array}} \right]$

Câu 3:

Cho $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos \frac{\pi }{6}}&{ - \sin \frac{\pi }{6}}\\{\sin \frac{\pi }{6}}&{\cos \frac{\pi }{6}}\end{array}} \right],X = \in {M_{2 \times 1}}\left[ R \right]$. Thực hiện phép nhân AX, ta thấy:

Câu 4:

Cho ma trận A: $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&0&2\\2&3&m\\3&4&2\end{array}} \right]$. Tìm m để hạng của A^-1 bằng 3.

Câu 5:

Cho $A \in {M_{3 \times 4}}\left[ {{\rm{ }}R{\rm{ }}} \right]$. Sử dụng phép biến đổi sơ cấp: Cộng vào hàng thứ 3, hàng 1 đã được nhân với số 2. Phép biến đổi trên tương đương với nhân bên trái ma trận A cho ma trận nào sau đây.

Câu 6:

Cho $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&0&0&3\\2&3&0&4\\4&{ - 2}&5&6\\{ - 1}&{k + 1}&4&{k + 5}\end{array}} \right]$. Với giá trị nào của k thì $r(A) \ge 3$

Câu 7:

Cho $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&2&k&2\\2&3&1&k\\3&5&{2k}&k\end{array}} \right]$ với giá trị nào của k thì hạng của ma trận A bằng 3?

Câu 8:

Cho $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&2&1\\2&5&2\\3&7&4\end{array}} \right]$ và M là tập tất cả các phần tử của A^-1. Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 9:

Tính hạng của ma trận: $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}3&2&4&6&5\\2&1&3&5&4\\4&5&3&6&7\\4&5&3&7&8\end{array}} \right]$

Câu 10:

Cho $z = \cos \left( {\frac{{2\pi }}{n}} \right) - i\sin \left( {\frac{{2\pi }}{n}} \right)$ là một nghiệm của $\sqrt[n]{1}$. Ma trận vuông ${F_n} = ({f_{k,j}})$ cấp n, với ${f_{k,j}} = {z^{(k - 1).(j - 1)}}$ được gọi là ma trận Fourier. Phép nhân F_n . X được gọi là phép biến đổi Fourier. Tìm biến đổi Fourier của vecto X = (1,2,0)^T.

Câu 11:

$\infty -$ chuẩn của ma trận là số lớn nhất trong tổng trị tuyệt đối của từng Hàng. Tìm $\infty -$ chuẩn của ma trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}5&{ - 1}&2\\3&7&1\\2&{ - 5}&7\end{array}} \right).$

Câu 12:

Cho $z = \cos \left( {\frac{{2\pi }}{n}} \right) - i\sin \left( {\frac{{2\pi }}{n}} \right)$ là một nghiệm của $\sqrt[n]{1}$. Ma trận vuông ${F_n} = ({f_{k,j}})$ cấp n, với ${f_{k,j}} = {z^{(k - 1).(j - 1)}}$ được gọi là ma trận Fourier. Phép nhân F_n . X được gọi là phép biến đổi Fourier. Tìm biến đổi Fourier của vecto X = (1,0,1,1)^T.

Câu 13:

Cho $z = \cos \left( {\frac{{2\pi }}{n}} \right) - i\sin \left( {\frac{{2\pi }}{n}} \right)$ là một nghiệm của $\sqrt[n]{1}$. Ma trận vuông ${A} = ({f_{k,j}})$ cấp n, với ${a_{k,j}} = {z^{(k - 1).(j - 1)}}$ được gọi là ma trận Fourier. Phép nhân F_n . X được gọi là phép biến đổi Fourier. Tìm biến đổi Fourier cấp 3.

Câu 14:

Cho ma trận $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}2&6\\0&2\end{array}} \right]$. Tính A¹⁰⁰.

Câu 15:

Cho ma trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&0&{ - 4}\\4&2&4\\3&2&2\end{array}} \right)$. Số nguyên dương k nhỏ nhất thỏa $r({A^k}) = r({A^{k + 1}})$ gọi là chỉ số của ma trận A. Tìm chỉ số của ma trận A.

Câu 16:

1- chuẩn của ma trận A là số lớn nhất trong tổng trị tuyệt đối của từng cột. Tìm 1- chuẩn của ma trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}5&{ - 1}&2\\3&7&1\\2&{ - 5}&4\end{array}} \right).$

Câu 17:

Cho vecto đơn vị $u = \left( {\frac{1}{3},\frac{{ - 2}}{3},\frac{2}{3}} \right)$. Đặt I-2.u.u^T, vecto X=(1, −2, 1)^T. Tính (I−2.u.u^T).X. Phép biến đổi (I-2.u.u^T) là phép đối xứng của vecto X qua mặt phẳng P là mặt phẳng qua gốc O nhận u làm vecto pháp tuyến. Phép biến đổi (I-2.u.u^T) được gọi là phép biến đổi Householder.

Câu 18:

Tổng tất cả các phần tử trên đường chéo gọi là vết của ma trận. Vết của ma trận A^T.A là chuẩn Frobenius của ma trận A. Tìm chuẩn Frobenius của ma trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&2&{ - 1}\\2&3&5\\4&1&6\end{array}} \right).$

Câu 19:

1- chuẩn của ma trận là số lớn nhất trong tổng trị tuyệt đối của từng cột. Tìm 1- chuẩn của ma trận AB với $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&2&{ - 1}\\2&3&2\\{ - 3}&1&4\end{array}} \right)$ với $B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 1}&3\\{ - 1}&4&0\\3&{ - 1}&2\end{array}} \right)$

Câu 20:

Cho ma trận $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&1&1\\{ - 3}&1&2\\{ - 2}&1&1\end{array}} \right]$. Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho $r({A^n}) = 0$

Câu 21:

Tổng tất cả các phần tử trên đường chéo gọi là vết của ma trận. Vết của ma trận A^T.A là chuẩn Frobenius của ma trận A. Tìm chuẩn Frobenius của ma trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&4&6\\ 2&1&7\\ { - 2}&5&3 \end{array}} \right).$

Câu 22:

Cho ma trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&1&1\\{ - 3}&1&2\\{ - 2}&1&1\end{array}} \right)$. Ma trận A gọi là ma trận lũy linh nếu A^k = 0. Số nguyên dương k nhỏ nhất thỏa A^k = 0 được gọi là chỉ số của ma trận lũy linh. Tìm chỉ số của ma trận A.

Câu 23:

Cho $A \in {M_{3 \times 4}}\left[ R \right]$. Sử dụng phép hai phép biến đổi sơ cấp theo liên tiếp: cộng vào cột thứ 3, cột 2 đã được nhân với số 2 và đổi chỗ cột 1 cho cột 2. Phép biến đổi trên tương đương với nhân bên phải ma trận A cho ma trận nào sau đây.

Câu 24:

Cho vecto đơn vị. Đặt I - u. u^T, vecto X = (1,-2,1)^T. Tính (I - u. u^T).X. Phép biến đổi (I - u. u^T) là phép chiếu vecto X lên mặt phẳng P là mặt phẳng qua gốc O nhận u làm vecto pháp tuyến.

Câu 25:

Cho $z = \cos \left( {\frac{{2\pi }}{n}} \right) - i\sin \left( {\frac{{2\pi }}{n}} \right)$ là một nghiệm của $\sqrt[n]{1}$. Ma trận vuông F_n = ( fk,j ) cấp n, với f_k,j=z^{(k−1).(j−1)} được gọi là ma trận Fourier. Phép nhân F_n . X được gọi là phép biến đổi Fourier. Tìm biến đổi Fourier của vecto X = ( 2, −1 )^T