Thi thử trắc nghiệm ôn tập Đại số tuyến tính – Đề #5

Câu 1:

Cho ma trận $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}2&2\\2&2\end{array}} \right]$. Đặt $B= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&1\\1&1\end{array}} \right]$. Tính A¹⁰⁰.

Câu 2:

Cho $A \in {M_{3 \times 4}}\left[ R \right]$. Sử dụng phép hai phép biến đổi sơ cấp theo liên tiếp: cộng vào hàng thứ 2, hàng 1 đã được nhân với số 3 và đổi chỗ hàng 2 cho hàng 3. Phép biến đổi trên tương đương với nhân bên trái ma trận A cho ma trận nào sau đây.

Câu 3:

Cho $z = \cos \left( {\frac{{2\pi }}{n}} \right) - i\sin \left( {\frac{{2\pi }}{n}} \right)$ là một nghiệm của $\sqrt[n]{1}$. Ma trận vuông A = (a_k,j) cấp n, với a_k,j=z^{(k−1).(j−1)} được gọi là ma trận Fourier. Tìm biến đổi Fourier cấp 2.

Câu 4:

Tổng tất cả các phần tử trên đường chéo gọi là vết của ma trận. Cho ma trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&3&2\\4&2&4\\3&2&2\end{array}} \right)$ và $B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}5&{ - 2}&4\\1&3&7\\6&4&5\end{array}} \right)$. Tìm vết của ma trận AB.

Câu 5:

Cho ma trận $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}2&1&3&{ - 1}\\3&2&0&1\\1&3&{ - 1}&2\\4&6&3&m\end{array}} \right]$. Tính m để A khả nghịch và r(A^-1) = 3.

Câu 7:

Cho $z = \cos \left( {\frac{{2\pi }}{n}} \right) - i\sin \left( {\frac{{2\pi }}{n}} \right)$ là một nghiệm của $\sqrt[n]{1}$. Ma trận vuông A = (a_k,j) cấp n, với a_k,j=z^{(k−1).(j−1)} được gọi là ma trận Fourier. Tìm biến đổi Fourier cấp 4.

Câu 8:

Tìm ma trận X thỏa mãn $X.\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}2&5\\1&3\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}4&2\\5&6\\{ - 1}&7\end{array}} \right].$

Câu 9:

Tổng tất cả các phần tử trên đường chéo gọi là vết của ma trận. Cho ma trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0&0\\2&1&0\\3&2&2\end{array}} \right)$. Tìm vết của ma trận A¹⁰⁰.

Câu 10:

Cho $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}i&1&1\\1&{ - 1}&1\\{2 + i}&0&3\end{array}} \right)$ với i² = -1. Tìm số nguyên dương nhỏ nhất m để det(Am) là một số thực. 

Câu 11:

Giải phương trình: $\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&3&1&1\\3&2&1&4\\1&0&{ - 1}&1\\{ - 1}&1&2&x\end{array}} \right| = - 3$

Câu 12:

Tính định thức của ma trận: $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}3&4&1&{ - 1}\\4&1&0&3\\2&3&{ - 1}&{ - 4}\\6&4&0&3\end{array}} \right]$

Câu 13:

Tìm m để det(A) = 6, với $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}2&3&1&{ - 1}\\3&4&1&1\\5&2&1&2\\7&m&1&3\end{array}} \right]$

Câu 14:

Cho $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}2&3\\1&4\end{array}} \right)$. Tìm số nguyên dương nhỏ nhất m để det(A^m) = 0.

Câu 15:

Tính định thức: $\left| A \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&5&1&3\\3&2&{ - 1}&4\\{ - 2}&1&0&5\\5&7&2&{ - 2}\end{array}} \right|$

Câu 16:

Biết rằng các số 2057, 2244, 5525 chia hết cho 17 và $0 \le a \le 9$. Với giá trị nào của a thì định thức A chia hết cho 17.

$A = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&0&5&7\\2&2&4&4\\9&0&a&4\\5&5&2&5\end{array}} \right|$

Câu 17:

Giải phương trình: $\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&1&1&{ - 1}\\2&0&3&1\\4&x&1&{ - 1}\\1&0&{ - 1}&2\end{array}} \right| = 0$

Câu 18:

Cho ma trận $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}2&3&1\\3&4&2\\5&3&{ - 1}\end{array}} \right]$. Tính det(P_A).

Câu 19:

Cho $f(x) = {x^2} + 3x - 5;A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}2&0&0\\4&1&0\\{ - 1}&3&1\end{array}} \right]$. Tính det( (f(A))⁻¹) .

Câu 20:

Tìm định thức của ma trận X thỏa mãn $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&2&1\\0&1&4\\0&0&1\end{array}} \right].X = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&1&1\\1&2&{ - 1}\\3&5&2\end{array}} \right].$

Câu 21:

Tìm định thức của ma trận A, với $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&1&1\\a&b&c\\{b + c}&{c + a}&{a + b}\end{array}} \right]$

Câu 22:

Tìm định thức của ma trận A¹⁰⁰, biết $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&i\\2&{1 + 3i}\end{array}} \right).$

Câu 23:

Tìm định thức (m là tham số) $\left| A \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&2&{ - 1}&1\\0&1&0&1\\2&m&4&1\\0&3&0&5\end{array}} \right|$

Câu 24:

Cho ma trận A = (a_jk), cấp 3, biết a_jk = i^j+k, với i là đơn vị ảo. Tính det(A).

Câu 25:

Cho $det (A) = 3, det (B) = 1$. Tính det ((2AB)⁻¹), biết rằng A, B là ma trận vuông cấp 3.